最終更新日時(UTC): 2025年08月31日 12時36分04秒
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function
<cmath>

# std::beta(C++17)

    namespace std {
      double
        beta(double x,
             double y);              // (1) C++17
      floating-point-type
        beta(floating-point-type x,
             floating-point-type y); // (1) C++23

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        beta(Arithmetic1 x,
             Arithmetic2 y);         // (2) C++17

      float
        betaf(float x,
              float y);              // (3) C++17

      long double
        betal(long double x,
              long double y);        // (4) C++17
    }

## 概要

ベータ関数 (beta function) を求める。

- (1) :
  - C++17 : `double`に対するオーバーロード
  - C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
- (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する大きい方の精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
- (3) : `float`型規定
- (4) : `long double`型規定

## 戻り値

引数 `x`, `y` のベータ関数 $$ \mathrm{B}(x, y) = \int_0^1 \mathrm{d}t ~ t^{x-1} (1-t)^{y-1} = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)} \quad \text{for } x > 0, y > 0 $$ を返す。$\Gamma$ はガンマ関数 (`tgamma`)。

## 備考

- (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

## 例

    #include <cmath>
    #include <iostream>

    int main() {
      std::cout << "beta(0, 0)      = " << std::beta(0, 0) << std::endl;      // 定義域エラー; 特異点
      std::cout << "beta(-0.5, 1.5) = " << std::beta(-0.5, 1.5) << std::endl; // 定義域エラー; 解析接続すれば -π
      std::cout << "beta(1, 1)      = " << std::beta(1, 1) << std::endl;      // 1
      std::cout << "beta(2, 4)      = " << std::beta(2, 4) << std::endl;      // 1 / 20
    }

### 出力例

    beta(0, 0)      = -nan
    beta(-0.5, 1.5) = 3.14159
    beta(1, 1)      = 1
    beta(2, 4)      = 0.05

## バージョン

### 言語

- C++17

### 処理系

- Clang: ??
- GCC: 7.1.0 ✅
- ICC: ??
- Visual C++: ??

### 備考

#### GCC (libstdc++)

GCC 7.1.0–8.0.0 では `beta` は `exp` と `lgamma` を用いて $ |\mathrm{B}(x, y)| = \exp(\ln |\Gamma(x) \Gamma(y) / \Gamma(x + y)|) $ を計算する。 `x < 0 || y < 0` でも定義域エラーを報告せずに値を返すが、戻り値は必ず正になる。

## 参照

- N3060 JTC1.22.29124 Programming Language C++ — Special Math Functions
- WG21 P0226R1 Mathematical Special Functions for C++17, v5
- ISO/IEC 29124:2010 Information technology -- Programming languages, their environments and system software interfaces -- Extensions to the C++ Library to support mathematical special functions
- P1467R9 Extended floating-point types and standard names
  - C++23で導入された拡張浮動小数点数型への対応として、`float`、`double`、`long double`のオーバーロードを`floating-point-type`のオーバーロードに統合し、拡張浮動小数点数型も扱えるようにした