最終更新日時(UTC): 2024年06月11日 13時45分38秒
Akira Takahashi が更新

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function
<cmath>

# std::hermite(C++17)

    namespace std {
      double
        hermite(unsigned int n,
                double x);              // (1) C++17
      floating-point-type
        hermite(unsigned int n,
                floating-point-type x); // (1) C++23

      Promoted
        hermite(unsigned int n,
                Arithmetic x);          // (2) C++17

      float
        hermitef(unsigned int n,
                 float x);              // (3) C++17

      long double
        hermitel(unsigned int n,
                 long double x);        // (4) C++17
    }

## 概要

エルミート多項式 (Hermite polynomials) を求める。

- (1) :
  - C++17 : `double`に対するオーバーロード
  - C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
- (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
- (3) : `float`型規定
- (4) : `long double`型規定

## 戻り値

引数 `n`, `x` のエルミート多項式 $$ H_n(x) = (-1)^n \exp(x^2) \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \exp(-x^2) $$ を返す。

## 備考

- `n >= 128` の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
- (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

## 例

    #include <cmath>
    #include <iostream>

    void p(unsigned n) {
      for (double x : {-1, 0, 1})
        std::cout << "hermite(" << n << ", " << x << ") = " << std::hermite(n, x) << "\n";
      std::cout << "\n";
    }

    int main() {
      p(0); // H0(x) = 1
      p(1); // H1(x) = 2x
      p(2); // H2(x) = 4x^2 - 2
      p(3); // H3(x) = 8x^3 - 12x
    }

### 出力例

    hermite(0, -1) = 1
    hermite(0, 0) = 1
    hermite(0, 1) = 1

    hermite(1, -1) = -2
    hermite(1, 0) = 0
    hermite(1, 1) = 2

    hermite(2, -1) = 2
    hermite(2, 0) = -2
    hermite(2, 1) = 2

    hermite(3, -1) = 4
    hermite(3, 0) = -0
    hermite(3, 1) = -4

## バージョン

### 言語

- C++17

### 処理系

- Clang: ??
- GCC: 7.1.0 ✅
- ICC: ??
- Visual C++: ??

## 実装例

### 閉形式

$$ H_n(x) = n! \sum_{j=0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \frac{(-1)^j}{j! (n - 2j)!} (2x)^{n - 2j} $$

### 漸化式

$$ H_n(x) = 2 x H_{n-1}(x) - 2 (n-1) H_{n-2}(x); H_0(x) = 1, H_1(x) = 2x $$

## 参照

- N3060 JTC1.22.29124 Programming Language C++ — Special Math Functions
- WG21 P0226R1 Mathematical Special Functions for C++17, v5
- ISO/IEC 29124:2010 Information technology -- Programming languages, their environments and system software interfaces -- Extensions to the C++ Library to support mathematical special functions
- P1467R9 Extended floating-point types and standard names
  - C++23で導入された拡張浮動小数点数型への対応として、`float`、`double`、`long double`のオーバーロードを`floating-point-type`のオーバーロードに統合し、拡張浮動小数点数型も扱えるようにした