最終更新日時(UTC): 2024年06月11日 13時45分38秒
Akira Takahashi が更新

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function
<cmath>

# std::sph_neumann(C++17)

    namespace std {
      double
        sph_neumann(unsigned int n,
                    double x);              // (1) C++17
      floating-point-type
        sph_neumann(unsigned int n,
                    floating-point-type x); // (1) C++23

      Promoted
        sph_neumann(unsigned int n,
                    Arithmetic x);          // (2) C++17

      float
        sph_neumannf(unsigned int n,
                     float x);              // (3) C++17

      long double
        sph_neumannl(unsigned int n,
                     long double x);        // (4) C++17
    }

## 概要

第2種球ベッセル関数 (spherical Bessel functions of the second kind)、球ノイマン関数 (spherical Neumann functions) を求める。

- (1) :
  - C++17 : `double`に対するオーバーロード
  - C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
- (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
- (3) : `float`型規定
- (4) : `long double`型規定

## 戻り値

引数 `n`, `x` の第2種球ベッセル関数 $$ n_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} N_{n + 1/2}(x) \quad \text{for } x \ge 0 $$ を返す。 $N$ は第2種ベッセル関数 (`cyl_neumann`)。

## 備考

- `n >= 128` の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
- (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

## 例

    #include <cmath>
    #include <iostream>

    constexpr double pi = 3.141592653589793;

    void p(unsigned n) {
      for (double r : {0., 0.25, 0.5})
        std::cout << "sph_neumann(" << n << ", " << r << " pi) = " << std::sph_neumann(n, r * pi) << "\n";
      std::cout << "\n";
    }

    int main() {
      p(0); // sph_neumann(0, x) = -cos(x) / x
      p(1); // sph_neumann(1, x) = -cos(x) / x^2 - sin(x) / x
      p(2); // sph_neumann(2, x) = (-3 / x^3 + 1 / x) * cos(x) - (3 / x^2) * sin(x)
    }

### 出力例

    sph_neumann(0, 0 pi) = -inf
    sph_neumann(0, 0.25 pi) = -0.900316
    sph_neumann(0, 0.5 pi) = -7.66616e-18

    sph_neumann(1, 0 pi) = -inf
    sph_neumann(1, 0.25 pi) = -2.04663
    sph_neumann(1, 0.5 pi) = -0.63662

    sph_neumann(2, 0 pi) = -inf
    sph_neumann(2, 0.25 pi) = -6.91725
    sph_neumann(2, 0.5 pi) = -1.21585

## バージョン

### 言語

- C++17

### 処理系

- Clang: ??
- GCC: 7.1.0 ✅
- ICC: ??
- Visual C++: ??

## 実装例

### 漸化式

$$ n_n(x) = \frac{2n-1}{x} n_{n-1}(x) - n_{n-2}(x); n_0(x) = - \frac{\cos x}{x}, n_1(x) = - \frac{\cos x}{x^2} - \frac{\sin x}{x} $$

## 関連項目

- 第1種球ベッセル関数 `sph_bessel`
- 第2種ベッセル関数 `cyl_neumann`

## 参照

- N3060 JTC1.22.29124 Programming Language C++ — Special Math Functions
- WG21 P0226R1 Mathematical Special Functions for C++17, v5
- ISO/IEC 29124:2010 Information technology -- Programming languages, their environments and system software interfaces -- Extensions to the C++ Library to support mathematical special functions
- P1467R9 Extended floating-point types and standard names
  - C++23で導入された拡張浮動小数点数型への対応として、`float`、`double`、`long double`のオーバーロードを`floating-point-type`のオーバーロードに統合し、拡張浮動小数点数型も扱えるようにした